高数都有什么公式高等数学（简称“高数”）是大学阶段理工科学生必修的一门基础课程，内容涵盖微积分、级数、多元函数、微分方程等。在进修经过中，掌握各类重要公式是领会概念、解决实际难题的关键。下面内容是对高数中常见公式的划重点，便于快速查阅和复习。
一、基本公式汇总
| 章节 | 公式名称 | 公式表达 |
| 极限与连续 | 极限定义 | $\lim_x \to a} f(x) = L$ |
| 无穷小比较 | $\lim_x \to 0} \frac\sin x}x} = 1$ | |
| 导数与微分 | 基本导数公式 | $(\sin x)’ = \cos x, (\cos x)’ = -\sin x$ |
| 链式法则 | $\fracdy}dx} = \fracdy}du} \cdot \fracdu}dx}$ | |
| 高阶导数 | $f^(n)}(x)$ 表示第 n 阶导数 | |
| 微分中值定理 | 罗尔定理 | 若 $f(a) = f(b)$，则存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f'(c) = 0$ |
| 拉格朗日中值定理 | 存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f'(c) = \fracf(b)-f(a)}b-a}$ | |
| 不定积分 | 基本积分公式 | $\int x^n dx = \fracx^n+1}}n+1} + C$（$n \neq -1$） |
| 换元积分法 | $\int f(u) du = \int f(g(x)) g'(x) dx$ | |
| 定积分 | 牛顿-莱布尼兹公式 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)$ |
| 积分中值定理 | 存在 $c \in [a,b]$ 使得 $\int_a^b f(x) dx = f(c)(b – a)$ | |
| 微分方程 | 一阶线性微分方程 | $y’ + P(x)y = Q(x)$，通解为 $y = e^-\int P dx} \left( \int Q e^\int P dx} dx + C \right)$ |
| 可分离变量方程 | $y’ = f(x)g(y)$，可化为 $\fracdy}g(y)} = f(x) dx$ | |
| 多元函数 | 偏导数 | $\frac\partial f}\partial x}$ |
| 全微分 | $df = \frac\partial f}\partial x} dx + \frac\partial f}\partial y} dy$ | |
| 二阶偏导数 | $\frac\partial^2 f}\partial x \partial y}$ |
二、常用公式分类说明
1. 极限相关公式
– 无穷小的等价替换：如 $\sin x \sim x$、$\ln(1+x) \sim x$ 等；
– 重要极限：$\lim_x \to 0} \frace^x – 1}x} = 1$、$\lim_x \to 0} \fraca^x – 1}x} = \ln a$。
2. 导数与微分
– 导数是函数变化率的体现，微分则是对导数的线性近似；
– 高阶导数常用于泰勒展开、极值判断等。
3. 积分公式
– 不定积分是求原函数的经过，定积分是面积或累积量的计算；
– 积分技巧包括换元法、分部积分、三角代换等。
4. 微分方程
– 一阶方程有多种类型，如齐次、可分离、线性等；
– 高阶方程通常需要降阶或利用特征方程求解。
5. 多元函数
– 偏导数和全微分是研究多变量函数变化的核心工具；
– 在最优化、物理建模中有广泛应用。
三、进修建议
– 熟记常用公式，领会其推导经过；
– 多做练习题，强化对公式的应用能力；
– 结合图像领会函数性质，如单调性、极值、凹凸性等；
– 注意公式适用条件，避免误用。
怎么样？经过上面的分析划重点，可以体系地了解高数中的主要公式及其应用场景。希望这份资料能帮助你更好地掌握高数聪明，提升进修效率。
